格林公式

格林公式详解

格林公式建立了平面闭合曲线积分与二重积分的联系：

∮_L Pdx+Qdy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dσ

条件：L是区域D的正向边界（逆时针方向），P、Q在D上有一阶连续偏导数。

正向定义：沿L行走时，区域D在左侧。单连通区域正向=逆时针。

面积公式：取P=-y,Q=x，得A=½∮xdy-ydx=∮xdy=-∮ydx。

与曲线积分路径无关：∂Q/∂x=∂P/∂y时，单连通区域内曲线积分与路径无关。

常见问题

Q：格林公式中正向怎么确定？

A：沿边界行走时区域在左侧。外边界逆时针为正，内边界（洞）顺时针为正。

Q：区域有洞还能用格林公式吗？

A：可以，用复连通区域的格林公式，外边界逆时针+内边界顺时针。

Q：格林公式和高斯公式什么关系？

A：格林公式是二维的散度定理/旋度定理，高斯公式是三维的散度定理。